Después de dar una vuelta por la historia de la recta tangente, hemos conseguido encontrar una definición alternativa, que nos permite presentar a la recta tangente como la recta más parecida a la gráfica de la función en el entorno del punto de tangencia. Esto es una idea intuitiva y visual, que evoca la percepción habitual que se tiene de tangencia, lo que facilita el aprendizaje del concepto.
Pero, además de definición alternativa, podemos incluso dar un método de cálculo para la recta tangente que no usa la derivada.
Como hemos visto en el relato histórico de la entrada anterior, una de las motivaciones históricas de la derivada es el cálculo de la recta tangente, usando que calculamos la recta que pasa por (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) para h cada vez más pequeño. Cuando h es casi 0, en el límite, esa recta es la tangente, y su pendiente es la derivada. Así, si llamo r(x) a la recta tangente, la función r-f tiene una raíz doble en el punto de tangencia. Esta idea, aplicada en el caso de polinomios, proporciona un método para encontrar rectas tangentes emplean técnicas algebráicas, sin usar la derivada.
Veamos primero un ejemplo si el polinomio es de segundo grado:
Es un procedimiento muy sencillo, basta con hacer cálculos e identificar coeficientes. Veamos ahora un ejemplo con un polinomio de grado 3. En este caso, antes de llegar a la recta tangente es preciso un paso intermedio: hay que buscar un polinomio de grado 2 que tenga un punto de tangencia con el polinomio de grado 3, y aplicarle a ese polinomio de grado 2 el procedimiento anterior.
Si generalizamos este método para calcular la tangente a un punto cualquiera, y usamos el hecho de que la recta tangente es horizontal cuando nos encontramos en un máximo o un mínimo, obtenemos un procedimiento que encuentra esos extremos, usando las mismas sencillas herramientas algebráicas.
Y para acabar, una pequeño video donde visualizamos cómo se llega a la recta tangente, trazando rectas entre (x-h/2,f(x-h/2)) y (x+h/2,f(x+h/2)). Según h se va acercando a 0, los puntos se van acercando entre sí y la recta se va pareciendo a la tangente. En el límite, los dos puntos se transforman en el mismo punto: de tener 2 puntos de corte tenemos un único punto: una raiz doble.
El método para calcular rectas tangentes de polinomios sin derivar lo encontré en un artículo de Francisco Raúl Tomás para la revista Suma, y lo podéis consultar aquí.
