Asuntos tangenciales

Siempre que hablamos de la recta tangente, me acuerdo de la expresión "salirse por la tangente" y  me imagino un coche circulando a gran velocidad por una carretera comarcal, saliéndose de la calzada en una de las muchas curvas del trazado de la vía.

Explicar las rectas tangentes a mis alumnos de repaso suele ser doloroso, como los accidentes de circulación, aunque por suerte en mis clases no suele haber víctimas mortales. Una tragedia cotidiana, de la que hay que sobreponerse para buscar métodos e ideas alternativas para explicar en clase qué es la recta tangente. Cualquier enfoque será mejor que relacionar las rectas tangentes con automóviles dando vueltas de campana.

Cuando se empiezan a tratar en el aula las derivadas, se comienza diciendo que el valor que toma la derivada de la función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto . Esto sirve como interpretación geométrica de la derivada y ayuda después a justificar de manera gráfica el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de las funciones. Una vez metidos en harina, aprendidas las reglas de derivación, se les pide a los alumnos que calculen la recta tangente usando la siguiente fórmula:

Desde el punto de vista formal, la recta tangente está completamente definida, ya que la definición de derivada es consistente, pero desde una perspectiva conceptual la definición no es satisfactoria del todo, ya que en realidad no responde a la pregunta:¿Qué es la recta tangente?¿Cómo podemos describir su relación con la curva, de manera que expresemos de forma precisa la intuición que se tiene sobre la tangencia? Fijémonos: hemos dicho que el valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente: efectivamente, la fórmula para la recta está basada en ese dato, y en que la recta pasa por el punto de tangencia. Es como si el hombre del tiempo anunciara lluvia y luego se dedicara a tirar cubos de agua por el balcón de su casa. El hombre del tiempo predijo que iba a caer agua...y el agua cayó.

Necesitamos encontrar definiciones alternativas de recta tangente que la caractericen a partir de sus propiedades geométricas sin aludir a la derivada. En esta entrada vamos a proponer alguna idea al respecto, que no implique imaginar coches despeñándose ni visualizar meteorólogos desperdiciando agua potable. Para conseguir esto, nos pasearemos por la historia de las matemáticas, buscando los orígenes del concepto y sus intuiciones asociadas.

Ya en la antigua Grecia, se planteó cómo encontrar la recta tangente a una curva. Euclides estudió el caso particular de la circunferencia, para la cual la recta tangente resulta ser la perpendicular al radio, y observó que esa perpendicular cumplía las siguientes propiedades:1) La perpendicular y la circunferencia solo tienen en común el punto de tangencia y 2) No se puede interponer otra recta entre la perpendicular y la curva. Este tipo de definiciones son las que vamos buscando: no se alude a la derivada, se estudia la geometría de la recta con respecto a la curva.

Pocos años después, el también griego Apolonio, desarrolló un método de construcción de la recta tangente para parábolas, elipses e hipérbolas, veamos cómo se calcularía la tangente a la parábola equilátera.

 

Unos cuantos siglos después,  durante el siglo XVI, Descartes calculaba tangentes a curvas sencillas basándose en la observación de Euclides acerca de que la tangente es perpendicular al radio de la circunferencia. El método empieza considerando la circunferencia tangente a la curva, y para encontrar quién es esa circunferencia, usa que el punto de tangencia es la única solución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la curva: una raiz doble.

 Unos cuantos años más tarde, ya en el siglo XVII, se empezaron a interpretar las curvas como trayectorias de partículas en movimiento. En este contexto, para Newton y Roberval, la recta tangente era la dirección instantánea de la partícula, es decir, la recta tangente es aquella que tiene el punto de tangencia como punto de paso y como vector director al vector velocidad instantánea, asociado al movimiento de la partícula. Estos procedimientos se dieron en llamar los "métodos cinemáticos" para encontrar tangentes.

Paralelamente, Fermat y algún matemático más de esa época (Wallis, Barrow,...) calculaban la pendiente de la recta tangente desarrollando la idea de que el punto de tangencia era el único punto de corte entre la recta y la curva. Se trata de plantearse la recta que corta a la curva en (x, f(x)) y

(x+h, f(x+h)): cuando los puntos x, x+h están próximos, la recta se parece a la tangente.

En el vídeo, la recta que se mueve es y=(h+6)x-9-3h, con h=-10,...,0. Hemos escogido valores negativos de h para que se viera mejor los puntos de corte entre las sucesivas rectas y la parábola. La recta tangente es de color azul.

En los cálculos anteriores, el concepto de la derivada está implicito, ya que:

Recordemos que la derivada, en este punto del relato, aún no ha sido definida, por lo que aunque el concepto ya se usa en las cuentas anteriores, los matemáticos no se daban cuenta de que estaban manejando un nuevo concepto pues éste aún no se había descubierto.

Nótese también que el proceso anterior tiene, en general (no en el caso particular que hemos visto)  un inconveniente: en general, si los puntos x+h y x coinciden (h=0), en algún de los pasos para llegar a la recta tangente, estamos dividiendo (al menos de forma aparente) entre 0.

Para definir y formalizar con rigor el concepto de derivada habría que esperar un par de siglos. Fue necesario disponer del concepto de límite para explicar con rigor qué es eso de que x y x+h estén cada vez más próximos, y superar el escollo de, aparentemente, tener que dividir entre 0.

Cauchy, en el siglo XIX, estableció el concepto de derivada como el límite del cociente incremental, y así, la recta tangente es aquella cuya pendiente es ese límite: el valor de la derivada en el punto.

Como hemos dicho, aquí acabaría la historia desde un punto de vista formal, ya que usar la derivada para calcular rectas tangentes es lo natural desde el punto de vista histórico, además de ser bastante práctico. Pero andabamos buscando algo más, alguna característica de la recta tangente que la distinga, más allá de conocer su expresión algebráica. Nos queda por tanto, una última etapa en este viaje.

Imaginemos que nos presentan una serie de gráficas de funciones. En general, no nos seria muy complicado dibujar de forma aproximada la recta tangente en algún punto, ya que tenemos cierta información intuitiva con la que construir ese dibujo:

a)Sabemos que el punto de tangencia es único: la recta puede cortar a la gráfica en más puntos, pero solo es tangente en uno de ellos

b)Si pensamos que la gráfica es la trayectoria de una partícula, la dirección de la tangente es la dirección instantánea en el punto de tangencia, el vector velocidad. Esto nos permite aproximar la dirección de la recta

c)La recta y la gráfica se solapan en los alrededores del punto de tangencia. Ya Euclides, como hemos comentado, tuvo esta intuición, y halló la tangente a la circunferencia teniendo en cuenta que entre la tangente y la circunferencia no se podía interponer ninguna otra recta.

Este parecido entre la recta y la gráfica es un rasgo geométrico inherente a la recta, definitivamente esto distingue a la recta tangente de cualquier otra recta. Formalizar este rasgo es lo que nos va permitir definir la recta tangente a partir de su relación geométrica con la gráfica de la función. La siguiente definición se la debemos a Bivens,  quién la propuso en 1986

Una pequeña observación para el lector del siglo XXI  que ayude a entender de donde sale la idea de relacionar tangente con la aproximación lineal.

El desarrollo de Taylor es una herramienta estupenda que permite tratar a cualquier función casi, casi, como si fuera un polinomio.

Y para acabar, una propiedad de las que cierran el circulo, demostrando que hemos elaborado un discurso sólido: la definición de Cauchy y la que acabamos de ver son equivalentes, la demostración también la hizo Bivens en 1986.

La idea de Euclides era muy cierta, entre la tangente y la gráfica no cabía otra recta. Esta historia, que casi acaba como empezó, es un ejemplo más de que las intuiciones, y en general los sentimientos,  constituyen la motivación de todo lo que hacemos las personas. Incluso eso tan lógico y racional que llamamos matemáticas.
Esta entrada está basada en el artículo de Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz), publicado en el número de junio de 2009 de la revista Suma. Os recomiendo su lectura completa, podéis consultarlo aquí.