Si alguien os pidiera que le explicaráis qué es un número, ¿qué le diríais? No es fácil, los números son objetos que se usan en matemáticas, pero por otro lado, hay números que representan magnitudes físicas, y otros que expresan relaciones de orden. Por tanto, el número no es un concepto exclusivo de las matemáticas, y además la misma idea de número ha ido evolucionando a lo largo de la historia. Aquí nos ocuparemos de la evolución de los números como objetos matemáticos, pero el número es un concepto metafísico, ya que está asociado a nuestra percepción de la realidad.
Lo que viene a continuación es un relato de ficción cuya finalidad es ilustrar el pensamiento matemático griego . Hipaso de Metaponto fue un pitagórico de la antigua Grecia, pero no está muy claro si fue el quién demostró que
es un número irracional, puesto que hay autores que defienden que el primer número que se demostró que no se podía escribir como una fracción fue
que es el número que hoy se conoce como la proporción áurea.
Hipaso de Metaponto vivió en Atenas, allá por el siglo V a.c. y no le gustaban los días de lluvia. Formaba parte de la escuela pitagórica, la primera escuela matemática griega. Cuando de pequeño correteaba entre las casas de la polis, no podía sospechar que con su obra iba a conseguir cambiar la visión del mundo, plácida y perfecta, que tenía él mismo y el resto de sus compañeros de escuela. Para comprender este cambio, tenemos que fijarnos previamente en cómo nos manejamos con los números en la actualidad. Gracias a que escribimos (aproximamos) los números usando potencias de 10, podemos considerar que las fracciones y las raices son objetos de la misma categoría.
Decimos que todos son números, porque cogemos la calculadora, los aproximamos usando decimales y operamos con ellos con comodidad.
Pero Hipaso no tenía calculadora y la sola idea de que hubiera números que no se pueden escribir de forma exacta, tan solo aproximar, seguramente le pondría los pelos de punta. Hay que tener en cuenta que el álgebra no había alcanzado el desarrollo actual, ya que
se entendía como el área del cuadrado de lado 3, y en general lo que
hoy vemos como expresiones algebráicas, un griego las manejaba usando
representaciones geométricas. Además, los pitágoricos tenían
como lema "Todo es número", pero los únicos objetos que merecían tal nombre para ellos eran los números naturales, y las fracciones no eran números: eran relaciones de proporcionalidad entre esos números. Con esta visión del mundo no hacen falta decimales, sólo hace falta encontrar el divisor adecuado de la unidad de medida. Por ejemplo, en vez de 0,75 estadios, los griegos hablaban de que el campo de olivos medía de largo 3 veces la cuarta parte de un estadio. La máxima "Todo es número", representa la confianza que tenían los pitagóricos en que cualquier magnitud se podía expresar mediante proporcionalidad, y que por tanto, cualquier cantidad se puede escribir usando fracciones, usando números.
El mundo pitagórico exacto y perfecto se empezó a desmontar un día lluvioso de mediados de septiembre. A Hipaso no le gustaba mojarse, y se quedó en casa viendo llover, acompañado de sus herramientas de dibujo. El último teorema que habían visto en la escuela afirmaba lo siguiente:
El teorema relacionaba un cuadrado cualquiera (el azul) con el cuadrado construido sobre su diagonal (el amarillo). Hipaso se preguntó si, de la misma manera que había razón de propocionalidad entre los cuadrados, la habría también entre el lado y la diagonal. De manera que se puso a dibujar, intentando repetir el proceso que describimos a continuación con el lado y la diagonal del cuadrado.
Pues no hubo manera. Por más que repetía el proceso desde el principio, aquello no parecía tener fín: siempre le sobraba un segmento más pequeño, que tenía que comparar con el subsegmento del paso anterior, y le seguía sobrando. Ya un tanto desconcentrado, y desconcertado, Hipaso se distraía mirando la lluvia caer, porque ya llevaba media tarde intentando resolver el problema, de momento sin éxito. Lo intentó de nuevo, pero ansioso por su fracaso y gracias a lo bochornoso del día, las manos le empezaron a sudar, el sudor pasó al papel, los dibujos se le emborronaron y cuando intento dibujar de nuevo, el compás se le resbaló entre los dedos y de poco no se clava la punta del compás en el muslo...¡Qué asco de tiempo!, pensó, pero desechó el último dibujo sucio, cogió el compas del suelo y siguió con ahínco, ya que estaba convencido de que la máxima que iluminaba su escuela ("Todo es número") era tan cierta como que Zeus gobernaba el mundo.
Hipaso vio como la lluvia cesaba, y como se ponía el sol en aquella tarde de septiembre. Pensó que podía seguir a la luz de las velas, pero el cansancio le pudo, y terminó yéndose a dormir con una buena dosis de frustración. Al día siguiente, las nubes se habían ido, y el cielo de la mañana volvía a presentar ese azul intenso propio de los días de pleno verano. Hipaso se levantó, desayunó un par de higos y comprobó los últimos dibujos de la noche anterior: los cálculos eran correctos, no parecía que hubiera manera de encontrar un divisor común para el lado y la diagonal del cuadrado. Sorprendido y un tanto inquieto, salió de casa rumbo a la escuela, en donde compartió su inquietud con sus compañeros, que, incrédulos, le insitieron para que comprobara de nuevo sus dibujos. Hipaso insisistía en que había hecho bien los cálculos, que había encontrado algo que no cuadraba en la lógica pitagórica. El rumor corrió como la pólvora por la escuela pitagórica, y al final de la mañana, con el sol en su cénit, el director de la escuela, escandalizado, llamó a Hipaso para que le mostara sus cálculos.
Ser la nota discordante, poner en duda la autoridad y los conocimientos de tus maestros suele acarrear consecuencias. Hipaso se esforzó en mostrar la veracidad de sus cálculos a sus maestros, pero el director de la escuela fue implacable e inmisericorde: Zeus gobernaba el mundo, y en el mundo de Zeus todo es número. Cuenta la leyenda que Hipaso de Metaponto fue arrojado al mar Egeo por sus compañeros pitagóricos, que lo encontraron culpable de herejía.
Tiempo después, se comprobó que Hipaso estaba en lo cierto, y que no había manera de escribir el lado del cuadrado como una fracción de la diagonal. Se estableció entonces que el lado del cuadrado y su diagonal eran magnitudes inconmesurables. Esto mismo lo expresamos hoy diciendo que
Esta demostración es del siglo XX, pero como los griegos, prima la geometría sobre la aritmética y el álgebra, y ayuda a entender el razonamiento de forma visual.
Esta entrada no hubiera sido posible sin el artículo de Jiménez, D. para el Boletín de la Asociación Matemática Venezolana (que se puede consultar aquí) y tampoco existiría sin el artículo de Casás, N. para la revista Suma. Por supuesto, si os ha resultado interesante el tema, seguid los enlaces.
