Después de dar una vuelta por la historia de la recta tangente, hemos conseguido encontrar una definición alternativa, que nos permite presentar a la recta tangente como la recta más parecida a la gráfica de la función en el entorno del punto de tangencia. Esto es una idea intuitiva y visual, que evoca la percepción habitual que se tiene de tangencia, lo que facilita el aprendizaje del concepto.
Pero, además de definición alternativa, podemos incluso dar un método de cálculo para la recta tangente que no usa la derivada.
Como hemos visto en el relato histórico de la entrada anterior, una de las motivaciones históricas de la derivada es el cálculo de la recta tangente, usando que calculamos la recta que pasa por (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) para h cada vez más pequeño. Cuando h es casi 0, en el límite, esa recta es la tangente, y su pendiente es la derivada. Así, si llamo r(x) a la recta tangente, la función r-f tiene una raíz doble en el punto de tangencia. Esta idea, aplicada en el caso de polinomios, proporciona un método para encontrar rectas tangentes emplean técnicas algebráicas, sin usar la derivada.
Veamos primero un ejemplo si el polinomio es de segundo grado:
Es un procedimiento muy sencillo, basta con hacer cálculos e identificar coeficientes. Veamos ahora un ejemplo con un polinomio de grado 3. En este caso, antes de llegar a la recta tangente es preciso un paso intermedio: hay que buscar un polinomio de grado 2 que tenga un punto de tangencia con el polinomio de grado 3, y aplicarle a ese polinomio de grado 2 el procedimiento anterior.
Si generalizamos este método para calcular la tangente a un punto cualquiera, y usamos el hecho de que la recta tangente es horizontal cuando nos encontramos en un máximo o un mínimo, obtenemos un procedimiento que encuentra esos extremos, usando las mismas sencillas herramientas algebráicas.
Y para acabar, una pequeño video donde visualizamos cómo se llega a la recta tangente, trazando rectas entre (x-h/2,f(x-h/2)) y (x+h/2,f(x+h/2)). Según h se va acercando a 0, los puntos se van acercando entre sí y la recta se va pareciendo a la tangente. En el límite, los dos puntos se transforman en el mismo punto: de tener 2 puntos de corte tenemos un único punto: una raiz doble.
Es un ejercicio interesante, y que se puede hacer con cualquier función: escribir la ecuación de la recta que se mueve en fución del parámetro h. Esto también es un método de cálculo de la tangente, de hecho, tal y como vimos en la entrada anterior, este método se usaba en el sigo XVII y condujo al descubrimiento de la derivada.
El método para calcular rectas tangentes de polinomios sin derivar lo encontré en un artículo de Francisco Raúl Tomás para la revista Suma, y lo podéis consultar aquí.
Siempre que hablamos de la recta tangente, me acuerdo de la expresión "salirse por la tangente" y me imagino un coche circulando a gran velocidad por una carretera comarcal, saliéndose de la calzada en una de las muchas curvas del trazado de la vía.
Explicar las rectas tangentes a mis alumnos de repaso suele ser doloroso, como los accidentes de circulación, aunque por suerte en mis clases no suele haber víctimas mortales. Una tragedia cotidiana, de la que hay que sobreponerse para buscar métodos e ideas alternativas para explicar en clase qué es la recta tangente. Cualquier enfoque será mejor que relacionar las rectas tangentes con automóviles dando vueltas de campana.
Cuando se empiezan a tratar en el aula las derivadas, se comienza diciendo que el valor que toma la derivada de la función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto . Esto sirve como interpretación geométrica de la derivada y ayuda después a justificar de manera gráfica el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de las funciones. Una vez metidos en harina, aprendidas las reglas de derivación, se les pide a los alumnos que calculen la recta tangente usando la siguiente fórmula:
Desde el punto de vista formal, la recta tangente está completamente definida, ya que la definición de derivada es consistente, pero desde una perspectiva conceptual la definición no es satisfactoria del todo, ya que en realidad no responde a la pregunta:¿Qué es la recta tangente?¿Cómo podemos describir su relación con la curva, de manera que expresemos de forma precisa la intuición que se tiene sobre la tangencia? Fijémonos: hemos dicho que el valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente: efectivamente, la fórmula para la recta está basada en ese dato, y en que la recta pasa por el punto de tangencia. Es como si el hombre del tiempo anunciara lluvia y luego se dedicara a tirar cubos de agua por el balcón de su casa. El hombre del tiempo predijo que iba a caer agua...y el agua cayó.
Necesitamos encontrar definiciones alternativas de recta tangente que la caractericen a partir de sus propiedades geométricas sin aludir a la derivada. En esta entrada vamos a proponer alguna idea al respecto, que no implique imaginar coches despeñándose ni visualizar meteorólogos desperdiciando agua potable. Para conseguir esto, nos pasearemos por la historia de las matemáticas, buscando los orígenes del concepto y sus intuiciones asociadas.
Ya en la antigua Grecia, se planteó cómo encontrar la recta tangente a una curva. Euclides estudió el caso particular de la circunferencia, para la cual la recta tangente resulta ser la perpendicular al radio, y observó que esa perpendicular cumplía las siguientes propiedades:1) La perpendicular y la circunferencia solo tienen en común el punto de tangencia y 2) No se puede interponer otra recta entre la perpendicular y la curva. Este tipo de definiciones son las que vamos buscando: no se alude a la derivada, se estudia la geometría de la recta con respecto a la curva.
Pocos años después, el también griego Apolonio, desarrolló un método de construcción de la recta tangente para parábolas, elipses e hipérbolas, veamos cómo se calcularía la tangente a la parábola equilátera.
Unos cuantos siglos después, durante el siglo XVI, Descartes calculaba tangentes a curvas sencillas basándose en la observación de Euclides acerca de que la tangente es perpendicular al radio de la circunferencia. El método empieza considerando la circunferencia tangente a la curva, y para encontrar quién es esa circunferencia, usa que el punto de tangencia es la única solución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la curva: una raiz doble.
Unos cuantos años más tarde, ya en el siglo XVII, se empezaron a interpretar las curvas como trayectorias de partículas en movimiento. En este contexto, para Newton y Roberval, la recta tangente era la dirección instantánea de la partícula, es decir, la recta tangente es aquella que tiene el punto de tangencia como punto de paso y como vector director al vector velocidad instantánea, asociado al movimiento de la partícula. Estos procedimientos se dieron en llamar los "métodos cinemáticos" para encontrar tangentes.
Paralelamente, Fermat y algún matemático más de esa época (Wallis, Barrow,...) calculaban la pendiente de la recta tangente desarrollando la idea de que el punto de tangencia era el único punto de corte entre la recta y la curva. Se trata de plantearse la recta que corta a la curva en (x, f(x)) y
(x+h, f(x+h)): cuando los puntos x, x+h están próximos, la recta se parece a la tangente.
En el vídeo, la recta que se mueve es y=(h+6)x-9-3h, con h=-10,...,0. Hemos escogido valores negativos de h para que se viera mejor los puntos de corte entre las sucesivas rectas y la parábola. La recta tangente es de color azul.
En los cálculos anteriores, el concepto de la derivada está implicito, ya que:
Recordemos que la derivada, en este punto del relato, aún no ha sido definida, por lo que aunque el concepto ya se usa en las cuentas anteriores, los matemáticos no se daban cuenta de que estaban manejando un nuevo concepto pues éste aún no se había descubierto.
Nótese también que el proceso anterior tiene, en general (no en el caso particular que hemos visto) un inconveniente: en general, si los puntos x+h y x coinciden (h=0), en algún de los pasos para llegar a la recta tangente, estamos dividiendo (al menos de forma aparente) entre 0.
Para definir y formalizar con rigor el concepto de derivada habría que esperar un par de siglos. Fue necesario disponer del concepto de límite para explicar con rigor qué es eso de que x y x+h estén cada vez más próximos, y superar el escollo de, aparentemente, tener que dividir entre 0.
Cauchy, en el siglo XIX, estableció el concepto de derivada como el límite del cociente incremental, y así, la recta tangente es aquella cuya pendiente es ese límite: el valor de la derivada en el punto.
Como hemos dicho, aquí acabaría la historia desde un punto de vista formal, ya que usar la derivada para calcular rectas tangentes es lo natural desde el punto de vista histórico, además de ser bastante práctico. Pero andabamos buscando algo más, alguna característica de la recta tangente que la distinga, más allá de conocer su expresión algebráica. Nos queda por tanto, una última etapa en este viaje.
Imaginemos que nos presentan una serie de gráficas de funciones. En general, no nos seria muy complicado dibujar de forma aproximada la recta tangente en algún punto, ya que tenemos cierta información intuitiva con la que construir ese dibujo:
a)Sabemos que el punto de tangencia es único: la recta puede cortar a la gráfica en más puntos, pero solo es tangente en uno de ellos
b)Si pensamos que la gráfica es la trayectoria de una partícula, la dirección de la tangente es la dirección instantánea en el punto de tangencia, el vector velocidad. Esto nos permite aproximar la dirección de la recta
c)La recta y la gráfica se solapan en los alrededores del punto de tangencia. Ya Euclides, como hemos comentado, tuvo esta intuición, y halló la tangente a la circunferencia teniendo en cuenta que entre la tangente y la circunferencia no se podía interponer ninguna otra recta.
Este parecido entre la recta y la gráfica es un rasgo geométrico inherente a la recta, definitivamente esto distingue a la recta tangente de cualquier otra recta. Formalizar este rasgo es lo que nos va permitir definir la recta tangente a partir de su relación geométrica con la gráfica de la función. La siguiente definición se la debemos a Bivens, quién la propuso en 1986
Una pequeña observación para el lector del siglo XXI que ayude a entender de donde sale la idea de relacionar tangente con la aproximación lineal.
El desarrollo de Taylor es una herramienta estupenda que permite tratar a cualquier función casi, casi, como si fuera un polinomio.
Y para acabar, una propiedad de las que cierran el circulo, demostrando que hemos elaborado un discurso sólido: la definición de Cauchy y la que acabamos de ver son equivalentes, la demostración también la hizo Bivens en 1986.
La idea de Euclides era muy cierta, entre la tangente y la gráfica no cabía otra recta. Esta historia, que casi acaba como empezó, es un ejemplo más de que las intuiciones, y en general los sentimientos, constituyen la motivación de todo lo que hacemos las personas. Incluso eso tan lógico y racional que llamamos matemáticas.
Esta entrada está basada en el artículo de Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz), publicado en el número de junio de 2009 de la revista Suma. Os recomiendo su lectura completa, podéis consultarlo aquí.
Si alguien os pidiera que le explicaráis qué es un número, ¿qué le diríais? No es fácil, los números son objetos que se usan en matemáticas, pero por otro lado, hay números que representan magnitudes físicas, y otros que expresan relaciones de orden. Por tanto, el número no es un concepto exclusivo de las matemáticas, y además la misma idea de número ha ido evolucionando a lo largo de la historia. Aquí nos ocuparemos de la evolución de los números como objetos matemáticos, pero el número es un concepto metafísico, ya que está asociado a nuestra percepción de la realidad.
Lo que viene a continuación es un relato de ficción cuya finalidad es ilustrar el pensamiento matemático griego . Hipaso de Metaponto fue un pitagórico de la antigua Grecia, pero no está muy claro si fue el quién demostró que
es un número irracional, puesto que hay autores que defienden que el primer número que se demostró que no se podía escribir como una fracción fue
que es el número que hoy se conoce como la proporción áurea.
Las Matemáticas que les enseño a mis alumnos de repaso son una ciencia ensimismada, que parece que nunca se vaya a utilizar fuera de las aulas y que se justifica a sí misma: hay que aprender las matemáticas de este curso para poder comprender las matemáticas del curso siguiente. Y la mayor parte de los ejercicios consisten en aplicar algoritmos cuasi-automáticos para simplificar expresiones , calcular límites o resolver ecuaciones.
A mis alumnos les hace falta entrenarse en la aplicación de esos algoritmos, pues conseguir ser hábiles les supone una mayor probabilidad de sacar buena nota en las pruebas de acceso a la universidad, lo que les da mayor número de opciones para su carrera. Pero a mí me aburre la rutina, y de vez en cuando les pongo delante un enunciado largo, les invito a que intenten resolver un problema.
No solo busco mi esparcimiento, (también acabaría aburrido de explicar enunciados), procuro mostrar a mis alumnos situaciones en las que esos algoritmos que con tanta habilidad ejecutan, sirvan para dar respuesta a cuestiones físicas o económicas. Lo primero que consigo con esto es que realicen el esfuerzo de leer con atención, al menos 5 minutos de concentración, que no es poco, dado las dificultades de concentración que tenemos todos hoy en día con tantísima distracción a nuestro alcance. Lo segundo, que se entrenen en la comprensión de textos complejos, con algo más de dificultad, si los comparamos con los mensajes que tienen que interpretar fuera del aula, en su vida cotidiana. Lo tercero, les demuestro que las matemáticas no son esa ciencia alejada de las personas que aprenden en clase, que muchas veces las cuentas que hacen sirven (o sirvieron) para algo más que aprobar exámenes.
Y por último, superado el primer rechazo que provocan los enunciados largos, despejadas las dudas lingüísticas que dificultan la comprensión,y resuelto el problema con mayor o menor intervención por mi parte, resulta que mis alumnos y yo hemos pasado un buen rato reflexionando acerca del tema propuesto. A veces, también se discute acerca de la dificultad de los problemas de matemáticas en general, lo que me permite recopilar información acerca de cómo se enfrentan mis alumnos a los retos que les planteo, me permite conocerlos mejor y ser capaz de ponerme en su lugar, y adaptar las clases a sus dificultades.
Según un ejercicio propuesto en el libro de Ernest F. Haeussler,Richard S. Paul,Matemáticas para administración y economía, la función racional que presentaremos devuelve el descenso porcentual en la tasa de natalidad cuando todas las mujeres de una población usan un método anticonceptivo con tasa de eficiencia x (esto quiere decir que si x=20%, entonces la mujer tiene un 20% menos de probabilidad de quedarse embarazada que si no usara el método). Podemos proponer a nuestros alumnos/as que busquen las tasas de eficiencia de diferentes métodos anticonceptivos, o bien que se informen sobre las enfermedades de transmisión sexual, y como los métodos anticonceptivos ayudan a su prevención. Finalmente, podemos hablar del dominio de esta función, dibujar su gráfica y tratar de interpretarla, viendo la influencia que tiene el uso de los anticonceptivos sobre la natalidad.
Os dejo con la expresión de la función racional y su representación gráfica
Mi amigo Armando anda hoy tembloroso y con sudores fríos. Su mujer está embarazada de 4 meses, y el resultado de una de las pruebas que le han practicado a su mujer le ha conseguido poner los pelos de punta. Resulta que la probabilidad de que su segundo hijo nazca con síndrome de Down es 1 entre 4285. Es pequeña, pero la misma prueba en el caso de su primer hijo dio como resultado que la probabilidad de que esa alteración genética se presentara era de 1 entre 1 millón.
Por tanto, la probabilidad de sufrir la mutación ha aumentado, y de forma significativa, para este segundo vástago es algo más del 99% más alta que para el primero...lo cual podría parecer preocupante, y esa es la impresión con la parece que Armando se ha quedado. En realidad, la probabilidad era tan pequeña en el caso del primer hijo, que ahora que prácticamente es el doble, el presentar síndrome de Down sigue siendo poco probable. ¿Cómo podemos convencer a Armando de que esto es así?
Vamos a intentarlo. La probabilidad de que el segundo bebé nazca sin el síndrome de Down es 4284/4285=0,9997666277713, es decir, algo más del 99,997%. Esto, sin duda, es una buena noticia. La probabilidad del suceso complementario da una visión alternativa, que en este caso es tranquilizadora: todavía hay muchas posibilidades de tener un hijo geneticamente normal. Además, en el caso del primer hijo, había un 99.9999% de probabilidad de tener un hijo sin el síndrome de Down: en realidad la diferencia de probabilidad es pequeña y la situación no ha cambiado tanto con respecto al primer hijo que tuvo Armando.
A estas alturas muchos ya estarán camino del botiquín a buscar las pastillas contra el mareo: muchas cifras, muchos decimales y muchas afirmaciones en apariencia contradictorias. Estamos diciendo, por un lado, que la probabilidad de un suceso ha aumentado un 99%, y al mismo tiempo, que ese suceso sigue siendo bastante poco probable. La clave es la vara de medir que estamos usando en cada momento: la probabilidad ha aumentado mucho, pero es que, como ya hemos dicho, antes era tan pequeña que, pese a que ahora es casi el doble, sigue siendo muy pequeña. Acostumbrados a que los números estén entre 0 y 1 millón, acostumbrados algunos a las pesetas, nos perdemos con los decimales. La probabilidad se mide en una escala entre 0 y 1, y los decimales (los céntimos) que de ordinario despreciamos ahora cobran relevancia.
Armando siguió nervioso después de mostrarle estos razonamientos, así que quizás otro día retomemos este tema para investigar de dónde salen esos números, cómo calculan los médicos esas probabilidades. Mientras tanto, el bebé sigue creciendo, alimentándose a través de su madre, y si todo va bien, nacerá, y necesitará la ayuda de todos los que le rodeamos para valerse por sí mismo. Al hijo de Armando, algunas cosas le serán difíciles, y en otras áreas, es posible que destaque. Como nos pasa a todos, también a los que tenemos solo 23 cromosomas.
La ilustración corresponde a la gráfica de la cotangente. Esta función se puede usar para demostrar que, en cierto modo, en el intervalo [0,1] hay tantos números como en toda la recta real, es decir, que con una escala entre 0 y 1 se pueden medir distancias astronómicamente grandes.
